BROCARD-RAMANUJAN BENZERİ ÇEŞİTLİ DENKLEMLER ÜZERİNE

Abstract

Bu çalışmada, Brocard-Ramanujan tipi Diophantine denklemlerin bir benzeri olan m^3=(m+1)!+m denkleminin pozitif tamsayı çözümleri incelenmiştir. Brocard-Ramanujan problemi olarak bilinen n!+1=m^2 denklemi gibi, faktöriyel ve üs içeren yapılar, çözüm kümelerinin sonluluğu açısından önemli teorik sonuçlara zemin hazırlamaktadır. Bu bağlamda incelenen denklem için önce küçük tamsayı değerleri doğrudan denenmiş ve yalnızca m=2 ve m=3 için denklemin sağlandığı görülmüştür. Daha sonra, faktöriyel fonksiyonunun kübik büyümeye kıyasla hızlı artışı dikkate alınarak, daha büyük değerler için eşitliğin sağlanamayacağı öngörülmüş ve bu durum matematiksel tümevarım yöntemiyle ispatlanmıştır. Yapılan tüm hesaplamalar SageMath ve Wolfram Mathematica yazılımlarıyla desteklenmiştir. Sonuç olarak, verilen denklemin pozitif tamsayı çözümleri yalnızca m=2 ve m=3 ile sınırlıdır. Bu durum, faktöriyel terim içeren üstel Diophantine denklemlerde çözüm kümelerinin sonluluğu yönündeki genel literatürle tutarlıdır.In this study, we investigate the positive integer solutions of the Diophantine equation ?? 3 = ( ?? + 1 ) ! + ?? m 3 =(m+1)!+m which resembles the well-known Brocard–Ramanujan type equations. Equations involving factorial and power terms, such as ?? ! + 1 = ?? 2 n!+1=m 2 , are of particular interest due to the rarity of their integer solutions and the implications for number theory. Initially, small positive integers were tested directly, revealing that the equation holds only for ?? = 2 m=2 and ?? = 3 m=3. Considering that the factorial function grows significantly faster than the cubic term, it was conjectured that no further solutions exist. This conjecture was then rigorously confirmed using mathematical induction. All symbolic computations were verified with the aid of SageMath and Wolfram Mathematica software. As a result, it was proven that the only positive integer solutions to the given equation are ?? = 2 m=2 and ?? = 3 m=3. This finding aligns with general results in the literature, which suggest that exponential Diophantine equations involving factorial expressions typically have only finitely many solutions.