Construction and Classification of Complete $(k,3)$-arcs from a Ceva 6-Figure in $PG(2,4)$

Abstract

This study investigates complete $(k,3)$-arcs generated from a given Ceva 6-figure in the projective plane $PG(2,4)$. The analysis reveals a unique complete $(7,3)$-arc obtained by adding the center point of the Ceva 6-figure, forming a Fano subplane, and eight distinct complete $(9,3)$-arcs constructed by adjoining three points on distinct 2-secant lines. No complete $(8,3)$-arc constructed from the given Ceva 6-figure exists. These results emphasize the combinatorial significance of Ceva-based configurations in finite projective planes and contribute to the systematic understanding of arc structures in finite geometry.

Bu çalışma, $PG(2,4)$ projektif düzleminde verilen bir Ceva 6-figüründen üretilen tam $(k,3)$-arkları araştırmaktadır. Yapılan analiz, Ceva 6-figürünün merkez noktasının eklenmesiyle bir Fano alt-düzlemi oluşturan tek bir tam $(7,3)$-arkın elde edildiğini ve farklı 2-kesen doğrular üzerinde yer alan üç noktanın eklenmesiyle sekiz farklı tam $(9,3)$-arkın oluşturulabildiğini göstermektedir. Verilen Ceva 6-figüründen türetilmiş herhangi bir tam $(8,3)$-arkın var olmadığı da belirlenmiştir. Bu sonuçlar, sonlu projektif düzlemlerde Ceva temelli konfigürasyonların kombinatoryal önemini vurgulamakta ve sonlu geometride ark yapılarının sistematik olarak anlaşılmasına katkı sağlamaktadır.