BROCARD-RAMANUJAN BENZERİ ÇEŞİTLİ DENKLEMLER ÜZERİNE

Abstract

Bu çalışmada, Brocard-Ramanujan tipi Diophantine denklemlerin bir benzeri olan m^3=(m+1)!+m denkleminin pozitif tamsayı çözümleri incelenmiştir. Brocard-Ramanujan problemi olarak bilinen n!+1=m^2 denklemi gibi, faktöriyel ve üs içeren yapılar, çözüm kümelerinin sonluluğu açısından önemli teorik sonuçlara zemin hazırlamaktadır. Bu bağlamda incelenen denklem için önce küçük tamsayı değerleri doğrudan denenmiş ve yalnızca m=2 ve m=3 için denklemin sağlandığı görülmüştür. Daha sonra, faktöriyel fonksiyonunun kübik büyümeye kıyasla hızlı artışı dikkate alınarak, daha büyük değerler için eşitliğin sağlanamayacağı öngörülmüş ve bu durum matematiksel tümevarım yöntemiyle ispatlanmıştır. Yapılan tüm hesaplamalar SageMath ve Wolfram Mathematica yazılımlarıyla desteklenmiştir. Sonuç olarak, verilen denklemin pozitif tamsayı çözümleri yalnızca m=2 ve m=3 ile sınırlıdır. Bu durum, faktöriyel terim içeren üstel Diophantine denklemlerde çözüm kümelerinin sonluluğu yönündeki genel literatürle tutarlıdır.