Kesirli hesaplamalar için Ostrowski tipli eşitsizlikler

Abstract

İntegral eşitlikleri gerek teorik gerekse uygulamalı matematikte kullanılan en önemli araçlardan biridir. Birçok adi diferansiyel eşitliklere ve kısmi diferansiyel eşitliklere dayalı başlangıç ve sınır değer problemleri söz konusu integral eşitlikleri yardımıyla çözümlenebilir. Ancak, bazı başlangıç ve sınır değer kümeleri kesirlidir, bir başka deyişle her yerde sürekli fakat hiçbir yerde türevlenemezdir. Bu durumda, klasik matematiksel yöntemler kullanılamaz. Lokal kesirli integral ve türevler, sürekli fakat türevlenemez fonksiyon problemlerinin çözümünde kullanılan etkili yöntemlerdir. Lokal kesirli fonksiyonel analizin özel fonksiyonlar, kontrol teorisi, kimyasal fizik, stokastik süreçler ve düzensiz difüzyon gibi birçok uygulama sahası mevcuttur. Diğer yandan, sıfır ile bir arasındaki integral ve türev değerlerinin hesaplanmasında kullanılan uyumlu kesirli hesaplamalar teorisi, matematikte önemli bir yere sahip olmaya başlamıştır. Bazı araştırmacılar Hermite-Hadamard, Ostrowski, Grüss ve Ostrowski-Grüss gibi temel eşitsizliklerin genelleştirilmiş kesirli versiyonlarını elde etmiştir. Bu tezde, yeni eşitsizlikler elde etmek için lokal kesirli matematiksel analizden ve uyumlu kesirli hesaplamalardan faydalanılacaktır. Bunun için, ilk olarak lokal kesirli uzaylar üzerinde iki kez diferansiyellenebilen fonksiyonlar için bir integral özdeşliği kurulacaktır. Daha sonra, bu özdeşliği kullanarak, ikinci mertebeden lokal kesirli türevlerinin mutlak değeri sınırlı olan fonksiyonlar için Ostrowski tipli eşitsizlikler sunulacaktır. Aynı zamanda, bu tezde elde edilen sonuçlar yardımıyla, nümerik integrasyon ve özel ortalamalar için uygulamalar verilecektir. Bu tezin ikinci amacı, uyumlu kesirli integraller için Ostrowski tipli sonuçlar oluşturmaktır. İkinci mertebeden genelleştirilmiş kesirli türevleri sınırlı olan fonksiyonlar için iki Ostrowski tipli tahminler türetilecek ve bu kapsamlı eşitsizliklerin özel durumları gözlemlenecektir. Ek olarak, bu sonuçların nümerik analiz uygulamaları incelenmiştir.

The theory of integral equations is one of the most useful mathematical tools in both pure and applied mathematics. Many initial and boundary value problems associated with ordinary differential equation (ODE) and partial differential equation (PDE) can be transformed into problems of solving some approximate integral equations. However, some initial and boundary value domains are fractal curves, which are everywhere continuous but nowhere differentiable. As a result, we cannot employ the classical calculus, which requires that the defined functions should be differentiable. The theory of local fractional integrals and derivatives are one of useful tools to handle the fractal and continuously non-differentiable functions. It is worth to note the applications of fractional calculus in several scientific areas including special functions, control theory, chemical physics, stochastic processes, anomalous diffusion, etc. On the other hand, the theory of Conformable Fractional Calculus which is used to calculate the integral and derivative values in between 0 and 1 has become the important place in mathematics. Some researchers established fundamental inequalities such as Hermite-Hadamard, Ostrowski, Grüss and Ostrowski-Grüss. In this thesis, some basic methods based on local fractal calculus and conformable fractional calculus are used to obtain the new inequalities will be first established. For this, an integral identity for twice differentiable functions on local fractal spaces will be established. Afterwards, Ostrowski type inequalities for mappings whose second local fractional derivatives in modulus are bounded will be presented by using this equality. Furthermore, with the help of the results obtained in this thesis, some applications for numerical integration and special means will be given. Second aim of this study is to establish Ostrowski type results for conformable fractional integrals. Two generalized Ostrowski type estimations for mappings whose second conformable fractional derivatives are bounded will be derived, and special cases of these comprehensive inequalities will be observed. Moreover, by using these inequalities, some applications in numerical integrations will be examined.