4-boyutta ∆^j x=Ax özelliğini sağlayan hiperküre

Abstract

Bu tezde, 3-boyutlu Öklid uzayında, ∆^I x=Ax, A∈Mat(3,3), özelliğini sağlayan r yarıçaplı küre yüzeyi incelenecektir. Kürenin I temel formu ve Gauss tasviri elde edilecektir. Kürenin, I temel forma bağlı olan Laplace-Beltrami operatörü bulunacaktır. Küre yüzeyine ait olan Laplace-Beltrami operatörü, Gauss tasviri ve ortalama eğrilik arasındaki ilişki verilecektir. Üstelik, kürenin II temel formu için Laplace-Beltrami operatörü hesaplanacaktır. Küre yüzeyi için yapılan işlemler, 3-boyutlu diferensiyel geometrideki ispat teknikleri ve formülleri 4-boyuta taşınarak hesaplamalar hiperküre üzerinde yapılacaktır. 4-boyutlu Öklid uzayında, ∆^I x=Ax, A∈Mat(4,4), özelliğini sağlayan r yarıçaplı hiperküre çalışılacaktır. Hiperkürenin I temel formu ve Gauss tasviri elde edilecektir. Hiperkürenin I temel forma bağlı Laplace-Beltrami operatörü bulunacaktır. Ayrıca, hiperküreye ait olan Laplace-Beltrami operatörü, Gauss tasviri ve ortalama eğrilik arasındaki ilişkiler araştırılacaktır. Daha sonra, hiperkürenin II temel formu için Laplace-Beltrami operatörü elde edilecektir.

In this thesis, the sphere surface with radius r, which provides the property ∆^I x=Ax, A∈Mat(3,3), in 3-dimensional Euclidean space will be examined. The fundamental form I of the sphere and the Gauss map will be obtained. The sphere will find the Laplace-Beltrami operator, which depends on the fundamental form I. The relations of the Laplace-Beltrami operator, Gauss map, and mean curvature of the sphere surface will be given. Moreover, the Laplace-Beltrami operator will be calculated for the fundamental form II of the sphere. The operations for the sphere surface, the proof techniques and formulas in 3-dimensional differential geometry will be carried to 4-dimensional and the calculations will be done on the hypersphere. In 4-dimensional Euclidean space, the hypersphere of radius r, which satisfies the property ∆^I x=Ax, A∈Mat(4,4), will be studied. The fundamental form I and Gauss map of the hypersphere will be obtained. The Laplace-Beltrami operator of the hypersphere depending on the fundamental form I will be found. In addition, the relations of the Laplace-Beltrami operator, Gauss map, and mean curvature of the hypersphere will be investigated. Finally, the Laplace-Beltrami operator will be obtained for the fundamental form II of the hypersphere.