Konveks ve koordinatlara göre konveks fonksiyonlar için genelleştirilmiş hermite-hadamard tipli eşitsizlikler ve ilgili integrallerin hata tahminleri

Abstract

İntegral eşitsizlikleri hem teorik hem de uygulamalı matematikte kullanılan en önemli araçlardan biridir. Bazı problemlerde integralin tam değeri hesaplanamaz. Böyle durumlarda yaklaşım metotları geliştirmek gereklidir. Bu yüzden, bazı matematikçiler fonksiyonların çeşitli sınıfları için integral eşitsizlikleri üzerine çalışmıştır. Hermite-Hadamard, Ostrowski, Chebyshev, Grüss ve Ostrowski-Grüss eşitsizlikleri, literatürdeki önemli eşitsizliklerden bazılarıdır. Son zamanlarda, bir çok araştırmacı Hermite-Hadamard eşitsizliği ile ilgili çok sayıda sonuç bulmuşlardır. Bu kapsamda klasik Hermite Hadamard eşitsizliğinin daha hassas sonuçları, eşdeğerleri ve genelleştirilmiş versiyonlarının yanı sıra fonksiyonların farklı kabulleri altında yeni Hermite Hadamard Tipli eşitsizlikler incelenmiştir. Örneğin; koordinatlara göre tanımlı konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler Dragomir tarafından sunulmuştur (Dragomir, 2001).Bu tezde genelleştirilmiş Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler, konveks fonksiyonları taban alan Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler üzerine devam eden çalışmaların ışığında incelenecektir. İlk olarak bir integralin alt ve üst sınırlarını belirleyen klasik Hermite-Hadamard eşitsizliğinin genelleştirilmesi ile ana integrale daha yakın alt ve üst sınırlar sağlayan yeni bir eşitsizlik sunulacaktır. Bu sonucun elde edilmesinde konveks fonksiyonlar ve n parçadan oluşan bir çekirdek kullanılacaktır. Ayrıca, n’ in farklı değerlerinde elde edilen alt ve üst sınırları daha kolay belirlemek için Matlab programı yardımıyla kodlar yazılacaktır. Bu sayede, özel konveks fonksiyonların integrallerinin hata tahminleri ve gerçek değerleri arasındaki farklar incelenecektir. Bu bağlamda, bir integrale alt ve üst sınırlar sağlayan yeni eşitsizlik yardımıyla integralleri hesaplanamayan veya hesaplanması çok zor olan fonksiyonlar için yaklaşık değerler sağlayan yeni formüller sunulacaktır. Gerçek hayat problemlerini çözmek için kullanılan fonksiyonlar genelde birden fazla bağımsız değişken içeren fonksiyonlardır. Bu yüzden, bir bağımsız değişken içeren fonksiyonların yanı sıra iki bağımsız değişken içeren fonksiyonlar da bu tez konusu kapsamında incelenecektir. İki değişkenli fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler elde edilmesinde koordinatlara göre konveks fonksiyonlar kullanılarak iki katlı integraller için Hermite-Hadamard tipli genelleştirilmiş eşitsizlikler sunulacaktır. Bu eşitsizlikler, Dragomirin (2001) koordinatlara göre konveks fonksiyonlar için ispatladığı sonucun genelleştirilmiş versiyonlarıdır. Bu sayede, iki katlı integrallerin hata tahminlerini hesaplamak için daha etkili yaklaşım metotları incelenebilir.

The theory of integral inequalities is one of the most useful mathematical tools in both pure and applied mathematics. The exact value of an integral cannot be calculated in some problems. In these cases, it is necessary to develop opproximation methods. Therefore, some mathematicians worked on integral inequalities for various classes of functions. Hermite-Hadamard, Ostrowski, Chebyshev, Grüss and Ostrowski-Grüss are some of the important inequalities in literature. In recent years, many authors have established a large number of inequalities connected to the Hermite-Hadamard's inequality. For recent results, refinements, counterparts and generalizations of classical Hermite-Hadamard inequality and new Hermite-Hadamard-type inequalities under various assumptions for the functions. For example, Hermite-Hadamard type inequalities for convex functions on the co-ordinates defined in a rectangle from the plane are introduced by Dragomir (Dragomir, 2001). Inspired and motivated by ongoing research on Hermite-Hadamard type inequalities based on convex functions, generalized Hermite-Hadamard type inequalities will be examined in this thesis. by using a generalization of classical Hermite-Hadamard inequality. By generalizing Hermite-Hadamard inequality, which determines the lower and upper bounds of an integral, a new inequality that provides lower and upper bounds closer to the main integral will be presented. In obtaining this result, convex functions and a kernel consisting of n parts will be used. In addition, somem codes will be written to determine lower and upper bounds which is obtained at different values of n in Matlab program. Herewith, the differences between error estimations and real values of the integrals of convex functions will be examined. As a result, with the help of a new inequality which provides lower and upper bounds to an integral, new formulas that give approximate integral values for functions whose integrals cannot be calculated or are very difficult to calculate will be presented. Functions used to solve real-life problems contain usually more than one independent variable. Therefore, functions containing two independent variables as well as functions containing one independent variable will be examined within the scope of this thesis. In order to Hermite-Hadamard type inequalities for functions containing two independent variables, co-ordinated convex functions will be used. So, generalized Hermite-Hadamard type inequalities for double integrals will be presented. These inequalities are generalized versions of Hermite-Hadamard type inequalities which provided by Dragomir (2001) for co-ordinated convex funstions. Herewith, more effective approximation methods can be examined for error estimations of double integrals.